Ya nos hemos familiarizado con los elementos característicos del espacio; las rectas y los planos. Hemos aprendido cómo son sus ecuaciones y las relaciones entre ellos en cuanto a posición se refiere, pero hay un mundo lleno de posibilidades con estas estructuras y muchas veces, tenemos que saber otras relaciones entre estos objetos tales como distancias, ángulos que forman, volúmenes encerrados,...
Basta con que eches un vistazo a tu alrededor para observar cómo mesas, paredes, libros, televisores de pantalla plana, y los límites de todos estos objetos, están determinados por segmentos de rectas y porciones de plano.
En el curso pasado, estudiaste la geometría analítica del plano que, básicamente, consistía en resolver situaciones geométricas en las que intervenían fundamentalmente rectas; para ello, utilizabas métodos algebraicos.
En este curso resolverás problemas parecidos pero situados en el espacio tridimensional y volverás a utilizar técnicas algebraicas como herramientas fundamentales para el desarrollo de las actividades. Al aumentar a tres las dimensiones del espacio considerado, aparece un nuevo elemento básico junto a los puntos y las rectas: el plano.
En esta primera unidad de Álgebra y Geometría Analítica trabajaremos con vectores en R3, extendiendo al espacio tridimensional las operaciones definidas en R2 y definiendo nuevas operaciones que permitirán ampliar el campo de aplicación, por ejemplo el estudio de planos y rectas en R3.
A medida que desarrollemos los temas, podremos apreciar que los vectores resultan una herramienta potente para la resolución de diferentes problemas de la geometría analítica: intersecciones, distancias, ángulos, proyecciones, etc. Los conceptos trabajados en esta unidad se retomarán con frecuencia en otras unidades de la materia, proporcionando un marco geométrico que facilita la comprensión del estudio de sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales, transformaciones lineales y otros temas.
Los vectores
son una herramienta muy útil para la geometría del espacio. En esta
unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se
contemplan las herramientas necesarias para la geometría
tridimensional.
Primero se estudian
los vectores geométricamente, y a través de sus operaciones,
también de forma geométrica, se llegan a conceptos fundamentales del
Álgebra como son los de dependencia lineal y combinación lineal.
Es muy importante
tener una "visión" clara del espacio.
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Uno de los principales objetivos del Álgebra clásica ha sido la resolución de
ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Desde este punto de vista, el Álgebra tendría más
de 2000 años de antigüedad pero hasta la Edad Media no se desarrolla de mano de los
árabes. Después, alcanza su madurez y esplendor en Europa, sobre todo en el
renacimiento italiano.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
Los determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. Jiu3zhang1Suan4shu4 o Los nueve capítulos del arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el Siglo XIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.
Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matriz fue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.
El concepto de determinante de una matriz cuadrada tiene una gran relevancia dentro de la teoría de
matrices. Los determinantes resultan de gran utilidad a la hora de resolver determinados sistemas de
ecuaciones lineales (los llamados sistemas de Cramer), discutir la existencia de solución de sistemas
de ecuaciones lineales generales (mediante el concepto de rango de una matriz y del Teorema de
Rouché Frobenious), y analizar la dependencia lineal de un conjunto de vectores (lo cual, entre otras
cosas, nos permitirá identificar posibles bases de un espacio vectorial). Además, la interpretación
geométrica de los determinantes nos permite calcular, de forma sencilla, áreas y volúmenes de
determinadas figuras geométricas, realizar productos vectoriales, y hallar las ecuaciones de un plano en el espacio.
En matemática, una matriz es una tabla bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar transformaciones lineales dada una base. En este último caso, las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
